chapter2. FEM(Finite Element Method)을 해석하기 위한 Elements 요약

지난 챕터에선 재료 역학의 관점에서 FEM을 풀기 위한 용어를 정리 하였다. 이번 강의에선 Element가 어떻게 추상화 되는지 살펴볼 것이다. Element란 물체를 Graph로 나눌 때, Edge에 해당하는 부분이다. 

https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_%28graph_theory%29

 

 

아래 표에 정리된 Stiffness matrix는 이후 3챕터 에서 유도한다. 3챕터가 FEM의 가장 중요한 부분을 다룰 것이고, 이번 챕터는 그 결과를 정리한다. 

 

0. Element's Stiffness Matrix

이 포스팅에선 증명 과정은 생략하고, 결과만 정리한다. 자세한 증명은 "Introduction to Finite Element Analysis and Design"에 나와 있다.

1. 1D element

Spring은 Hooke's Law(훅의 법칙)에 의해 탄성 계수 한개만을 이용한 변형을 일으킨다. Truss는 축과 평행한 방향의 힘만 고려하고, Beam은 Transverse Force에 대한 힘만 고려한다.

요소	Spring	Truss (Bar)	Beam
작용 하는 힘	Axial Force	Axial Force	Transverse + Bending
DOF	2	2	4
Stiffness Matrix	$$ K = \begin{bmatrix} k & -k \\ -k & k \end{bmatrix}$$	$$ K = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$	$$ K = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 12 & 6L & -12 & 6L \\ 6L & 4L^2 & -6L & 2L^2 \\ -12 & -6L & 12 & -6L \\ 6L & 2L^2 & -6L & 4L^2 \end{bmatrix}$$

Spring은 Hooke's Law(훅의 법칙)에 의해 탄성 계수 한개만을 이용한 변형을 일으킨다. Truss는 축과 평행한 방향의 힘만 고려하고, Beam은 Transverse Force에 대한 힘만 고려한다. Truss와 Beam을 함께 고려하는 것을 Frame이라고 한다. 

2. 2D element (Plane)

요소	Tria	Quad	Plate
작용 하는 힘	Axial Force	Axial Force	Transverse + Bending
DOF	6	8	3
Stiffness Matrix	$$ K = \int_V B^T D B \, dV = t \cdot A \cdot (B^T D B)$$	$$ K = \int_V B^T D B \, dV $$	$$ K = \int_A B_b^T D_b B_b \, dA$$ $$D = \frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}$$

 Volumetric 적분을 손으로 구하는 것은 매우 어렵다. Chapter3에서 실제 값과 비교하면서 수치해석적으로 적분하는 방법을 다룰 것이다. 

 

3. 3D element (Solid, Shell)

요소	Tetrahederal	Hexahedral (Brick)	Shell (Curved Plate)
작용 하는 힘	Axial Force	Axial Force	Transverse + Bending
DOF	12	24	5
Stiffness Matrix	$$ K = \int_V B^T D B \, dV$$	$$ K = \int_V B^T D B \, dV$$	$$ K \approx K_{membrane} + K_{bending} + K_{shear}$$

 

(Hex, Tet)2개를 합쳐서 solid라고 한다.

 

PS. Euler-Bernulli vs Timoshenko

https://www.researchgate.net/figure/Comparison-of-Timoshenko-and-Euler-Bernoulli-beam-deformation_fig1_338439695

Beam의 Governing Equation.

$$EI \frac{d^4v}{dx^4} = q(x) \tag1$$

$$\frac{d^2}{dx^2} \left( EI(x) \frac{d^2v}{dx^2} \right) = q(x) \tag2$$

Force Equibrium, Moment Equibrium

오일러 방식은 변형 된 후의 Beam의 axial 축이 평면과 평행하다는 가정 하에 유도된다. 더 정확한 수식은 티모시엔코의 수식을 써야한다. 

• 가늘고 긴 보 (일반적인 파이프, 철근) $\rightarrow$ Euler-Bernoulli 
• 짧고 굵은 보 (교량 받침, 두꺼운 기계 부품) $\rightarrow$ Timoshenko 

FEM 시리즈

chapter1. FEM을 위한 용어 정리

chapter2. FEM을 해석하기 위한 요소들

chapter3. Stiffness, Interpolation Matrix(-ing)

chapter4. FEM의 근사값과 실제값의 차이 (TBD)

chapter5. Over undergraduate (TBD)

 

Ref

• First Course in the Finite Element Method (DARYL L. LOGAN)
• 경희대학교 기계공학과 유한요소법
• MECHANICS OF MATERIALS (JAMES M. GERE BARRY J. GOODNO)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Flexural_rigidity

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_ratio

https://m.blog.naver.com/honggyosu/222492154602

https://en.wikipedia.org/wiki/Bending_stiffness