시뮬레이션에서 유체나 유동성 고체를 나타내려면 어떻게 해야 할까? FEM(Finite Element Method, 유한요소법)은 3D 대상을 유한한 그래프로 쪼개서 미분방정식을 해석하는 방법이다. Electromagnetic potential, 열전도, 구조 해석 등 연속체의 역학의 근사해를 얻을 수 있다. 그중 재료역학의 관점으로 FEM 이야기를 풀려고 한다.
$$ F = [m] \ddot{d} + [c] \dot{d} + [k]{d} $$
임의의 물체에 힘이 가해 졌을 때, 가속 운동, 댐핑, 변형 된다. 우선 가속과 댐핑이 없는 변형만 일어나는 시스템이라고 보자.
1. Stress Strain의 정의
Stress[σ, N/m^2, Pa, 응력]: 물체의 외력에 저항하여 물체 내부에 발생하는 단위 면적당 힘. 연속체 역학에서는 3x3 Cauchy stress tensor, 2차 텐서로 나타난다.
Strain [ε,Demension Free, gradients of displacement, 변형률]: 외력에 의한 형태 변화율을 나타낸다.
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| https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%95%9C%EC%9A%94%EC%86%8C%ED%95%B4%EC%84%9D | https://en.wikipedia.org/wiki/Stress%E2%80%93strain_curve |
- 여기서 색이 Stress와 Strain을 나타낸다. 우리는 Stress와 Strain이 선형적인 관계인 왼쪽 영역을 다룬다. 일정 이상 외력을 받으면, 물체는 원래 상태로 돌아갈 수 없다.
- Stress나 Strain은 3D에선 ‘2차 텐서’로 정의된다. 벡터와 스칼라 물리량과 다르게 3×3 행렬 형태로 나타낸다.
2. Strength, Stiffness 정의
Strength와 Stress는 외력에 의한 변형(Deformation)이 일어난 시스템 전체에서 정의된다. 다시 말하면 물질의 특성과 기하의 특성을 둘 다 갖는다. 같은 재료여도 모양에 따라 다를 수 있다. 예를 들어 어떤 물체가 외력에 의해 변형 됐다면, 변형된 물체 전체를 Stiffness Matrix로 구할 수 있다. 만약 관심 있는 지점이 하나라면, 하나의 지점(Node)에 가해지는 Deformation과 Stiffness를 구할 수 있다.
Stiffness(강성) vs Strength(강도)
Stiffness [N/m]: 물체를 변형시키기 위해 외력이 작용할 때, 얼마나 변형에 저항 하는지에 관한 물리량. stress strain 그래프(ss-curve)의 기울기이다. 빡빡한 정도로 해석된다.
Strength [N/m]: 물체를 변형시키기 위해 외력이 작용할 때, 얼마나 파괴에 저항하는지에 관한 물리량. yield strength, ultimate strength. Stiffness의 경계값을 나타낸다. 강한 정도로, 나약한 물질과 구조는 한번 변하면 탄력성이 없다.
Stiffness의 종류
- Elastic Stiffness: 축의 평행한 방향으로 어떻게 변형되는지 (스프링의 경우 k, Truss(Bar)의 경우 AE/L)
- Bending Stiffness(Flexural Rigidity): 축의 수직한 Transverse Force에 대해 어떻게 변형되는지
- Torsional Stiffness: 단면 방향으로 어떻게 변형되는지. GJ (𝐽=극단면 2차 모멘트, Polar Moment of Inertia)
두 개의 수치는 외력을 FEM으로 Deformation이 일어나는 임의의 지점의 Stiffness와 Strength를 구할 수 있다.
3. Modulus 정의
Modulus는 Stress와 Strain 간의 관계를 나타낸 물리량이다. Elastic, Shear, Bulk는 기하적 특성과는 관계없는 물성에 관한 물리량인 반면 Flexural Modulus는 기하적 특성을 반영한다.
Elastic Modulus(E, Young Modulus, 탄성 계수)
축에 작용하는 힘으로, Tensile(늘리기), Compression(압축하기) 두 가지가 존재한다.
[σ=E⋅ε], [E, 고차원에선 young modulus를 Constitutive Matrix로 나타낸다.]
Shear Modulus(G, Modulus of Rigidity, 전단 계수)
외부 돌림힘에 대해 얼마나 변형되는지
[τ=G⋅γ, G=E/2(1+ν), 는 전단 응력, γ는 전단 변형률.]
Bulk Modulus(K, 체적탄성계수)
체적을 줄이기 위해서 어느 정도의 압력이 가해져야 하는지를 나타낸다.
- torsion은 3차원에서 moment에 의한 shear modulus의 상호작용으로 볼 수 있다.
- 복잡한 3차원 재료나 비등방성(방향에 따라 성질이 다른) 재료의 경우, 탄성계수는 단일 수치가 아닌 4차 텐서(탄성 텐서) 형태로 표현된다. 이 탄성 텐서는 응력 텐서(2차 텐서)와 변형률 텐서(2차 텐서) 사이의 선형 변환 관계를 나타낸다.
4. 결국 푸는 것은
F = M d
F: nodal Force (원인)
M: Stiffness Matrix
d: Nodal Displacement (결과)
물체에 힘을 주었을 때 어떻게 변형되는가? 갑자기 힘을 줄 때, 물체는 미분방적식으로 진동한다. FEM는 진동이 끝난 후, 평형 상태에서 어떻게 변형이 일어났는지 평가한다. 혹은 Strength를 이용해 원래 상태로 돌아올만한 충격이었는지, 판단할 때 사용할 수 있다.
5. FEM 시리즈
chapter1. FEM을 위한 용어 정리
chapter3. Stiffness, Interpolation Matrix
chapter4. FEM의 근사값과 실제값의 차이 (TBD)
chapter5. Over undergraduate (TBD)
Ref
- https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%95%9C%EC%9A%94%EC%86%8C%ED%95%B4%EC%84%9D
- https://blog.naver.com/dhpf/222000805779 (bulk modulus에 관한 글)
- https://satlab.tistory.com/215 (연속체 역학과의 관계성에 대해서 서술한 글이다.)
- First Course in the Finite Element Method (DARYL L. LOGAN)
- 경희대학교 기계공학과 유한요소법
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